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【いそっぷ3DCAD塾】サーフェースモデリングで使う《ガウス曲率》と《平均曲率》の違いとは?!

      2019/01/04

ガウス曲率と平均曲率の違い

前回、ガウス曲率について書いた。

今回は、平均曲率についてガウスとの違いをメインに書いていきます。

それぞれの特徴について簡単にいうと、

ガウス曲率は、曲面の縦横それぞれの曲率の積で決まる。よって片方が曲率0の場合は、ガウス曲率0となる。

平均曲率は、曲面の縦横それぞれの曲率の平均で決まる。つまり、片方が曲率0でも、もう片方がプラスなら、平均曲率は0より大きくなる。

(言葉が稚拙だが、大体あってると思う)

次に、実際にガウス曲率と平均曲率で比べて見よう。

上がガウス、下が平均。一目瞭然、違いがあるのがわかる。

なぜ違ってくるのかを、簡単な曲面を例にとりみてみる。

まずはガウス曲率から

緑色をしている。つまりガウス曲率は0だ。(なぜ緑=0なのかは、曲率範囲を見てほしい)シンプルな円筒サーフェスを、ガウス曲率でみてみる。

縦横それぞれに、赤線を引いた。縦の線は曲率0、横の線は曲率が0より大きい。ガウス曲率は、それぞれの積(縦x横)であるから、片方が0の場合、答えは0となる。

よって、曲面の片方向が曲がっていても、もう片方がまっすぐであれば、ガウス曲率は0になる。

次に平均曲率をみていく。

こちらは、水色をしている。ガウス曲率のときとは曲率範囲が違うので注意してほしい。青が曲率0でそれ以外は0より大きいことを表す。

先ほどと同じように、縦横それぞれに、赤線を引いた。縦の線は曲率0、横の線は曲率が0より大きい。平均曲率は、それぞれを足した平均((縦+横)/2)であるから、両方が0でない限り、答えは0より大きくなる。

よって、曲面の両方向がまっすぐでない限り、平均曲率は0より大きくなる。

ここでさらに、冒頭で見た画像の一部を切り取ってみてみよう。

*ガウス曲率

縦横に赤線をひいた。これを見てみると、片方は曲がっているが、もう片方はまっすぐだ。つまり片方の曲率が0なので、ガウス曲率は0。

*平均曲率

同じく、縦横に赤線をひいた。こちらも片方曲がっていて、もう片方はまっすぐだ。つまり片方の曲率は0より大きいということになり、平均曲率は0より大きくなる。

曲面の状態をみるとき、どちらでみるのが正解かはよくわからない。

まぁ、大体のことが一目でわかるのは平均曲率のほうだろう。

わたしの使い方は、曲率をみることより、曲面と曲面がうまくつながっているのかをみるためなので、ガウスとか平均とかそういうことは気にしてなかった。

あとは陥没しすぎてないか確認するとかね。陥没とか盛り上がりの度合いなどは、ガウス、平均どっちでもわかるので問題なかった。

結局のところ、どっち使えばいいか困ったら両方使えばいいのだ。

この先有料エリアとなっているが、特になにも書いてないので気にしないこと。

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